Review Materi : Deret Taylor

♥Review Materi : Titik Kambang♥
^Assignments^
~Metode Numerik~
♥ML801A♥

1. Pertanyaan :

Berikan penjelasan dan contoh soal mengenai:

masing-masing ditulis dalam post yang berbeda dalam iMe Class, dan masing-masing post harus mempunyai 3 contoh soal. Pastikan semua terdokumentasi dengan baik dalam iMe Class disertai link yang di-share dalam milis

 

2. Status : Tercapai 100%

3. Pernyataan : Saya Telah Menyelesaikan Assignments Dengan Baik

4. Pembuktian :

 

1. Deret Taylor Beserta Contoh Soal

Jawab :

Deret Taylor merupakan bentuk presentatif dari fungsi. Dalam hal ini deret tersebut merupakan jumlah tak hingga dari suku pada deret. Untuk menghitungnya digunakan dengan prinsip turunan pada sebuah titik. Lalu apa itu deret Maclaurin. Deret Maclaurin adalah bila pada deret Taylor tersebut berpusat pada titik nol. Jadi bisa disimpulkan bahwasanya deret Maclaurin adalah bagian deret Taylor, dengan kata lain, deret Taylor yang berpusat di nol disebut dengan deret Maclaurin.

Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks f(x) yang terdiferensialkan takhingga dalam sebuah pemetaan sebuah bilangan riil atau kompleks a adalah deret pangkat.

Capture

dimana dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai :

Capture2

dengan n! melambangkan faktorial n dan f (n)(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n dari f pada titik a. Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri, dan (xa)0 dan 0! didefinisikan sebagai 1.

Dalam kasus khusus di mana a = 0, deret ini disebut juga sebagai Deret Maclaurin.

Ide awal dari deret MacLaurin adalah sebuah fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk deret polinomial. Misalkan

f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots

Jika kita memasukkan nilai x = 0 , maka kita dapatkan

f(0) = a_0

Kemudian kita turunkan fungsi tersebut terhadap x , maka kita dapat

f'(x) = a_1 +2 a_2 x + 3 a_3 x^2 + 4 a_4 x^3 + \dots

Dan jika kita memasukkan nilai x=0 , kita dapat

f'(0) = a_1

Kita turunkan fungsi tersebut sekali lagi

f''(x) = 2 a_2 + (2 . 3) a_3 x + (3 . 4) a_4 x^2 + \dots

Masukkan kembali x = 0 dan kita dapat

f''(0) = 2 a_2

\frac{1}{2} f''(0) = a_2

Ulangi langkah yang selanjutnya, sehingga kita dapat

a_n = \frac{1}{n!} \left ( \frac{d^n f(x)}{d x^n} \right )_{x=0}

Jadi, deret MacLaurin dapat ditulis dengan

f(x) = f(0) + f'(0) \frac{x}{1!} + f''(0) \frac{x^2}{2!} + f'''(0) \frac{x^3}{3!} + \dots

Tetapi, tidak semua fungsi bisa dinyatakan dalam bentuk tersebut, contohnya f(x) = \frac{1}{x} dan untuk itu, Taylor membuat deret yang lebih umum. Deret Taylor mirip dengan deret MacLaurin, namun angka yang dimasukkan bukanlah 0 , melainkan sebuah nilai a .

f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!} (x-a)^3 + \dots

 

Contoh Soal Deret Taylor 1 :

1. f(x) = cos 3x, Tentukan Deret Taylor sampai dengan orer ke-8 dengan residunya :

Jawab :

  • Deret Taylor sampai dengan orer ke-8 dengan residunya

5.PNG

Step 3

*X=0

6

Step 4
Menentukan Deret Taylor:

cos(3x) = 7.PNG

Step 5
Menentukan Residu di order ke 8

8.PNG

2. Deret Taylor sampai dengan orer ke-8 dengan residunya

Step 1

9

Step 2

Menentukan Residu

10.PNG

dimana 0<C<x

Contoh Soal Deret Taylor 2 :

 

Contoh Deret Taylor 3 :


Views All Time
Views All Time
7
Views Today
Views Today
1

Leave us a Comment

logged inYou must be to post a comment.